Eine sich bewegende Masse hat eine bestimmte kin. Energie.
Wkin=m v2/2
Diese muss beim Bremsen umgewandelt werden (in Wärme, Verformungsenergie...)
Die Bremsenergie ist dabei Kraft * Weg:
|
WBrems = FR * s WBrems = FG * kR * s WBrems = m * g * kR * s |
s = Bremsweg FR = Reibungskraft kR = Reibungskoeffizient FG = Gravitationskraft g = Erdbeschleunigung |
Damit die Masse zum stehen kommt (Bremsweg), müssen die beiden Energieen gleich sein:
Wkin = WBrems
m v2/2 = m * g * kR * s
v2/2 = g * kR * s
| s = v2/ (2 g kR) | (Ia) |
Und mit der Bremsbeschleunigung a = g * kR:
| s = v2/(2 a) | (Ib) |
Die Bremsbeschleunigung ist konstant (-a). Da die Geschwindigkeit das Integral der Beschleunigung ist, folgt daraus, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit abnimmt:
v(t) = ∫-a dt.
Mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 wird daraus:
| v(t) = v0 - at | (II) |
Bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 60 km/h (16.67 m/s) sieht das folgendermassen aus (a=5m/s2):
.jpg)
Nach vollendeter Bremsung ist v(t) = 0. Die Bremszeit ist also
| t = v0/a | (III) |
Die Strecke in Abhängigkeit der Zeit s(t) ist das Integral der Geschwindigkeit v(t).
s(t) = ∫ v dt.
s(t) = s0 + v0t - a/2 t2 wobei s0 = 0 ->
s(t) = v0t - a/2 t2
s(t) = 1/2 t(2v0 - at)
wird die obige Formel für die Geschwindigkeit verwendet (v(t)=v0-at), wird der Klammerausdruck zu v(t) + v0.
s(t) = t/2(v(t)+v0) | Erweitern mit a
s(t) = at/2a(v(t)+v0) | at = v0 - v(t) (folgt aus II)
s(t) = (v0 - v(t))/(2a) (v(t) + v0)
s = (v02-v2) / (2a)
v2 = v02 - 2as
| v(s) = √(v02-2as) | (IV) |
Für die Bremsungen aus 60km/h (16.67m/s) und 50km/h (13.89m/s) sieht das folgendermassen aus (a=5m/s2):
.jpg)
Der Bremsweg mit 50km/h beträgt 19.29m. Nach dieser Strecke hat das Fahrzeug mit Anfangsgeschwindigkeit 60km/h noch eine Restgeschwindigkeit von 33.17km/h (9.21m/s).
Wagen 1 fährt mit v1, Wagen 2 mit v2. Sie bremsen gleichzeitig. Wie schnell ist Wagen 2 noch, wenn Wagen 1 zum stehen kommt?
s = v2/(2 a)
s1/s2 = v12/v22
s2 = s1 * (v2/v1)2
sΔ = s2 - s1 = s1[(v2/v1)2 - 1] = v12/2a [(v2/v1)2 - 1]
v@sΔ = √(2a sΔ) = √(2a v12/2a [(v2/v1)2 - 1])
| v@sΔ = √(v22 - v12) | (V) |
